Пропорции в математике с примерами решения и образцами выполнения

Другие виды пропорциональности

В одном из примеров, упомянутых ранее, мы задавались вопросом, что происходит с площадью круга при увеличении радиуса. Ответ заключается в том, что площадь прямо пропорциональна квадрату радиуса, где π — коэффициент пропорциональности:

А = πR2

Если радиус увеличить вдвое, площадь увеличится в 4 раза.

А в случае электрического поля А ТАКЖЕ производится точечной оплатой какие, известно, что интенсивность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния р загружать какие:

E = k_{а также} q / r2

Но мы также можем утверждать, что напряженность поля прямо пропорциональна величине заряда, а коэффициент пропорциональности равен k_{а также}, электростатическая постоянная.

Другие пропорциональности, которые также представлены в Science, — это экспоненциальная пропорциональность и логарифмическая пропорциональность. В первом случае переменные x и y связаны соотношением:

y = k.aИкс

Где a — основание, положительное число, отличное от 0, которое обычно равно 10 или числу e. Например, такой вид имеет экспоненциальный рост бактерий.

Во втором случае связь между переменными такова:

y = k.log_к Икс

Опять же, основание логарифма, которое часто равно 10 (десятичный логарифм) или е (натуральный логарифм).

Прямая пропорциональность

При наличии двух переменных х и у , у находится прямо пропорционально , чтобы х , если существует ненулевая константа K такая , что

узнак равноkИкс.{\ displaystyle y = kx.}

Unicode символы
U + 221D ∝ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО (HTML · ) U + 007E ~ ТИЛЬДА (HTML ) U + 223C ∼ ТИЛЬДНЫЙ ОПЕРАТОР (HTML · ) U + 223A ∺ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ (HTML · )

Отношение часто обозначается символами «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «~»:

у∝Икс,{\ displaystyle y \ propto x,} или у∼Икс.{\ displaystyle y \ sim x.}

Для получения от константы пропорциональности может быть выражена как отношениеИкс≠{\ Displaystyle х \ neq 0}

kзнак равноуИкс.{\ displaystyle k = {\ frac {y} {x}}.}

Ее также называют постоянной вариации или постоянной пропорциональности .

Прямая пропорциональность также можно рассматривать в качестве линейного уравнения в двух переменных с у -intercept из и наклон от к . Это соответствует линейному росту .

Примеры

Если объект движется с постоянной скоростью , то пройденное расстояние прямо пропорционально времени, затраченному на путешествие, а скорость является константой пропорциональности.
Окружность из круга прямо пропорциональна его диаметр , с константой пропорциональности , равная П .
На карте достаточно маленькой географической области, нарисованной в масштабе расстояний, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально прямому расстоянию между двумя местоположениями, представленными этими точками; константа пропорциональности — это масштаб карты.
Сила , действующая на небольшой объект с небольшой массой по близлежащей большой расширенной массы за счет силы тяжести , прямо пропорциональна массе объекта; константа пропорциональности между силой и массой известна как ускорение свободного падения .
Чистая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Константа пропорциональности в этом втором законе Ньютона — это классическая масса объекта.

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность с функцией y = 1 / x

Концепции обратной пропорциональности можно противопоставить прямую пропорциональность . Рассмотрим две переменные, которые считаются «обратно пропорциональными» друг другу. Если все другие переменные остаются постоянными , величина или абсолютное значение одной обратно пропорциональной переменной уменьшается, если другая переменная увеличивается, в то время как их произведение (константа пропорциональности k ) всегда одинаково. Например, время, затрачиваемое на поездку, обратно пропорционально скорости движения.

Формально две переменные обратно пропорциональны (также называемые изменяющимися обратно пропорционально , в обратной вариации , в обратной пропорции , в обратной пропорции ) [ необходима ссылка ], если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативной обратной (обратной) другой, или эквивалентно если их произведение является постоянным. Отсюда следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной x, если существует ненулевая константа k такая, что

узнак равноkИкс,{\ displaystyle y = {\ frac {k} {x}},}

или, что то же самое, Следовательно, константа « k » является произведением x и y .Иксузнак равноk.{\ displaystyle xy = k.}

График двух переменных, изменяющихся обратно пропорционально на декартовой координатной плоскости, представляет собой прямоугольную гиперболу . Произведение значений x и y каждой точки кривой равно коэффициенту пропорциональности ( k ). Поскольку ни x, ни y не могут равняться нулю (поскольку k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.

Pro Rata для процентных ставок

Пропорциональные расчеты также используются для определения суммы процентов, которые будут получены от инвестиций. Если инвестиции приносят годовую процентную ставку, то пропорциональная сумма, полученная за более короткий период, рассчитывается путем деления общей суммы процентов на количество месяцев в году и умножения на количество месяцев в усеченном периоде. Сумма процентов, полученных за два месяца по инвестициям, приносящим 10% годовых, составляет (10% / 12) x 2 = 1,67%.

Что касается облигаций, выплата начисленных процентов рассчитывается пропорционально. Начисленные проценты – это общие проценты, накопленные по облигации с момента последней выплаты купона. Когда держатель облигации продает облигацию до даты следующего купона, он по-прежнему имеет право на проценты, начисляемые до момента продажи облигации. Покупатель облигации, а не эмитент, несет ответственность за выплату продавцу облигации начисленных процентов, которые прибавляются к рыночной цене.

Формула начисленных процентов выглядит следующим образом:

Аязнак равноFace Value of Bond

Графическое представление

Графическое представление y = k × x .

Отмечаются две серии значений ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ) и ( y ₁ , y ₂ ,…, y _n ). Предположим, что эти значения являются координатами точек на евклидовой плоскости, снабженной декартовой системой координат , где значения x являются абсциссами, а значения y — ординатами. Координаты точки M ₁ : ( x ₁ , y ₁ ), M ₂ ( x ₂ , y ₂ ), M _n ( x _n , y _n ).

Если мы находимся в ситуации пропорциональности, то точки M ₁ , M ₂ ,…, M _n выровнены по прямой (D), и эта прямая линия проходит через начало O системы координат — точку координат (0, 0).

Демонстрация

Если три точки выровнены, то одна из точек может быть выведена из линейной комбинации двух других, это один из их центров масс . Если ряды значений пропорциональны, то для двух различных точек i и j мы имеем:

{уязнак равноk⋅Иксяуjзнак равноk⋅Иксj.{\ displaystyle {\ begin {cases} y_ {i} = k \ cdot x_ {i} \\ y_ {j} = k \ cdot x_ {j} \ end {cases}}.}

Поскольку точки различны, значения x _i и x _j не могут иметь одно и то же значение, поэтому по крайней мере одно из двух не равно нулю. Предположим, что x _i ≠ 0, тогда имеем:

{kзнак равноуяИксяуjзнак равноуяИкся⋅Иксj{\ displaystyle {\ begin {cases} k = {\ frac {y_ {i}} {x_ {i}}} \\ y_ {j} = {\ frac {y_ {i}} {x_ {i}}} \ cdot x_ {j} \ end {case}}}

это

уjзнак равно+ИксjИкся⋅уя.{\ displaystyle y_ {j} = 0 + {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ cdot y_ {i}.}

У нас очевидно есть

Иксjзнак равно+ИксjИкся⋅Икся.{\ displaystyle x_ {j} = 0 + {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ cdot x_ {i}.}

Следовательно, точка M _j является барицентром точек O и M _{i, которым} присвоены соответствующие веса 1 (например, но подходит любое значение) и x _j / x _i .

Таким образом, точки O, M _i и M _j выровнены cqfd

Путем экстраполяции новое измерение даст пару ( x , y ), которая будет соответствовать координатам точки на линии (D).

Существует такое вещественное k , что все точки (D) — это в точности точки с координатами ( x , k × x ). Другими словами, пара ( x , y ) соответствует координатам точки (D) тогда и только тогда, когда y = k × x . Действительный k — это наклон линии, также называемый коэффициентом направления линии. Это также коэффициент пропорциональности y по отношению к x . Мы также говорим, что y или y (x) является линейной функцией от x .

В эксперименте могут быть сделаны ошибки при измерении x и y . Точки O, M ₁ ,…, M _n, помещенные на график, затем находятся рядом с прямой с наклоном k . Некоторая свобода выбора остается на наклоне k , но в некотором смысле можно сделать лучший выбор, используя так называемые методы линейной регрессии .

Pro Rata для страховых взносов

Другое распространенное использование – определение суммы, причитающейся за частичный срок страхового полиса. Большинство страховых полисов рассчитаны на полный 12-месячный год, поэтому, если полис необходим на более короткий срок, страховая компания должна пропорционально распределить ежегодную премию, чтобы определить размер задолженности. Для этого разделите общую премию на количество дней в стандартном сроке и умножьте на количество дней, охватываемых усеченным полисом.

Например, предположим, что автомобильный полис, который обычно охватывает полный год, предусматривает премию в размере 1000 долларов США. Если застрахованному требуется полис только на 270 дней, компания должна соответственно уменьшить страховой взнос. Пропорциональная премия за этот период составляет (1000 долларов США / 365) x 270 = 739,73 доллара США.

Пропорциональная ставка и дивиденды на акционера

Когда компания выплачивает дивиденды своим акционерам, каждому инвестору платят в соответствии с их долями. Например, если компания имеет 100 акций в обращении и выплачивает дивиденды в размере 2 долларов на акцию, общая сумма выплаченных дивидендов составит 200 долларов. Независимо от количества акционеров, общая сумма дивидендов не может превышать этот предел. В этом случае 200 долларов – это целое, и для определения соответствующей части этого целого, причитающейся каждому акционеру, необходимо использовать пропорциональный расчет.

Предположим, всего четыре акционера владеют 50, 25, 15 и 10 акциями соответственно. Сумма, причитающаяся каждому акционеру, является его пропорциональной долей. Он рассчитывается путем деления собственности каждого лица на общее количество акций и последующего умножения полученной доли на общую сумму выплаты дивидендов.

Следовательно, доля мажоритарного акционера составляет (50/100) x 200 долларов = 100 долларов. Это имеет смысл, потому что акционер владеет половиной акций и получает половину общих дивидендов. Остальные акционеры получают 50, 30 и 20 долларов соответственно.

использованная литература

Я. Б. Зельдович, И. М. Яглом : Высшая математика для начинающих , с. 34–35 .
Брайан Баррелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , стр. 85–101 .
Lanius, Cynthia S .; Уильямс Сьюзен Э .: ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ: объединяющая тема для средних классов . Преподавание математики в средней школе 8.8 (2003), стр. 392–396.
Сили, Кэти; Шилак Джейн Ф .: Взгляд на развитие соотношений, ставок и пропорциональности . Преподавание математики в средней школе, 13.3, 2007 г., стр. 140–142.
Ван Дурен, Вим; Де Бок Дирк; Эверс Марлен; Вершаффель Ливен: Чрезмерное использование студентами принципа пропорциональности при решении проблем с отсутствием значений: как числа могут изменить решения . Журнал исследований в области математического образования, 40.2, 2009 г., стр. 187–211.

Исследование функции прямой пропорциональности и ее график

Определение

Функция, которая обладает видом y = kx, где k — число (k≠0), является функцией прямой пропорциональности.

Число k представляет собой коэффициент пропорциональности. Переменная y пропорциональна переменной x. Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции

y = kx + m, если m=0

График прямой пропорциональности изображают в виде прямой, которая пересекает начало координат или точку O (0;0). Для того чтобы построить график прямой пропорциональности, требуется взять одну точку, вторая – будет точкой O.

Прямая пропорциональность характеризуется следующими свойствами:

областью определения является множество действительных чисел: D(y): x∈(-∞;+∞) (или x∈R);
областью значений является множество действительных чисел: D(y): y∈(-∞;+∞) (или y∈R);
нуль функции (y=0) при x=0;
если k>0, функция y = kx возрастает, а при k<0 — убывает;

Если k>0, график функции пересекает первую и третью координатные четверти. Функция будет обладать положительными значениями, если значения аргумента положительные:

y > 0 при x > 0.

Функция будет обладать отрицательными значениями, если значения аргумента отрицательные:

y < 0 при x < 0.

Если k < 0, то функция будет иметь график, проходящий через вторую и четвертую координатную четверть. Функция будет характеризоваться положительными значениями, если значения аргумента отрицательные:

y > 0 при x < 0.

Функция будет характеризоваться отрицательными значениями, если значения аргумента положительные:

y < 0 при x > 0.

Величина k представляет собой угловой коэффициент прямой y = kx. С другой стороны, k является тангенсом угла α, образованного прямой и положительным направлением оси Ох.

В качестве примера можно рассмотреть такие функции:

y = 2x в виде прямой пропорциональности;
y = 2x + 1 в виде линейной функции;
y = 2x – 1 в виде линейной функции.

Можно построить график рассматриваемых функций. Каждая из них обладает коэффициентом k = 2. Для первой функции m = 0, для второй: m = 1, для третьей: m = -1. Данные величины вытекают из стандартной записи линейного уравнения:

y = kx + m

Необходимо представить данные в виде таблицы:

График примет такой вид:

Прямые, которые были построены, параллельны. Это объясняется равенством их угловых коэффициентов. Согласно теореме, если y = kx является графиком прямой пропорциональности, тогда график y = kx + m будет ему параллелен, так как коэффициентом k определяется угол наклона к оси x, и данный коэффициент y функций будет обладать равными значениями.

Главное свойство пропорции

Умножив левую и правую части пропорции

на произведение bd, получим ad = be, т. е. во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Составление пропорции по данному равенству двух произведений

Пусть pq = ху. Разделив левую и правую части этого равенства на qx, получим

Этот результат можно сформулировать следующим образом.

Если произведение двух чисел равно произведению двух других, то из этих четырех чисел можно составить пропорцию, беря множители одного произведения за крайние, а множители другого произведения за средние члены пропорции. (При этом дополнительно требуется, чтобы оба последующих члена пропорции не оказались равными нулю.)

Перестановка членов пропорции

Пусть ad = be и числа а, b, с, d — все отличны от нуля. Разделив левую и правую части равенства ad = bc первый раз на bd, второй на ab, третий на ас и четвертый на cd, получим соответственно четыре пропорции:

Поменяв местами отношения в этих равенствах, получим еще четыре пропорции:

Этот результат показывает, что в пропорции можно менять местами средние и крайние члены и ставить оба крайних члена на места средних, а оба средних на места крайних.

Прямая пропорциональность

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Пусть буква х обозначает в годах возраст сына, а буква у — возраст отца и пусть в данный момент сыну один год, а отцу 25 лет.

Составим таблицу значений х и соответствующих им значений буквы у. В третьей строке этой таблицы выпишем значения отношения :

В этом примере отношение (отношение возраста отца к возрасту сына) не остается неизменным. Оно с течением времени убывает.

Пример:

Пусть буква х обозначает в сантиметрах длину стороны квадрата, а буква у — площадь квадрата в квадратных сантиметрах.

Составим таблицу, подобную предыдущей.

Отношение и здесь не остается неизменным. Оно возрастает при возрастании х.

Пример:

Пусть буква х обозначает в кубических сантиметрах объем ртути при температуре 0°, а буква у — вес этой ртути в граммах. Известно, что 1 куб. см ртути при температуре 0° весит 13,6 г.

Опять составим таблицу значений х, у и .

Этот третий пример существенно отличается от двух предыдущих. Здесь отношение сохраняет неизменное значение.

Определение:

Две величины у и х называются прямо пропорциональными (или просто пропорциональными), если при всех их возможных изменениях отношение остается равным одному и тому же числу и если при х = 0 значение у также равно нулю.

Значит, вес ртути и объем ртути при постоянной температура являются величинами пропорциональными.

Возраст отца и возраст сына не пропорциональны.

Также не пропорциональны сторона квадрата и его площадь.

Пусть изменяющиеся величины у и х пропорциональны. Тогда отношение будет равно некоторому постоянному числу.

Обозначая это постоянное число буквой k, получим:

или

Следовательно, если величины у и х пропорциональны и отношение равно k, то у выражается в зависимости от х формулой

Число k называется коэффициентом пропорциональности (величины у по отношению к величине х).

Теперь докажем обратное положение. Пусть

где k — постоянное число.

Отсюда следует, что при х = 0 и у = 0 и что А это и означает, что величины у и х пропорциональны.

Из того что следует, что , или что Отсюда можно сделать следующий вывод:

Если коэффициентом пропорциональности величины у по отношению к величине х служит постоянное число k, то коэффициентом пропорциональности величины х по отношению к величине у будет служить число .

Приведем еще один пример пропорциональных величин. Путь s, пройденный при равномерном движении, пропорционален. времени t, т. е.

Здесь постоянное число v есть коэффициент пропорциональности величины s по отношению к величине t (v есть скорость равномерного движения).

Сделаем еще два замечания.

Замечание:

Если имеется два ряда чисел:

и если

то числа одного из этих рядов называются пропорциональными числам другого ряда.

Замечание:

Если имеются только два постоянных числа а и b, то бессмысленно говорить о них, что они пропорциональны или не пропорциональны.

В этом случае можно интересоваться либо характером этих чисел, либо их разностью, либо их отношением и т. д.

В заключение решим две простые задачи на пропорциональные величины.

Задача:

На карте в масштабе расстояние между двумя пунктами равно 42,5 см. Определить, чему равно это расстояние на карте в масштабе

Решение:

Длина на карте прямо пропорциональна масштабу. Поэтому.

Задача:

С помощью непосредственного измерения установили, что при повышении температуры рельса на 24°С его длина увеличивается на 1,5 мм. Требуется вычислениями определить изменение длины рельса при понижении его температуры на 40°С. (Считать изменение длины рельса величиной, прямо пропорциональной изменению температуры.)

Решение:

Обозначив искомое изменение (в мм) буквой х, получим:

откуда

т. е. при понижении температуры рельса на 40°С его длина сократится на 2,5 мм.

Прямая пропорциональность и другие особые случаи

Давайте посмотрим, какие функции также будут линейными:

$y = -3\times x- b$, в данном случае оба числовых коэффициента имеют отрицательные значения;
другой пример: $y = 2-x$, здесь коэффициент $k$ равен $-1$, а $b = 2$;
$y = 5$, тут коэффициент $k$ равен $0$, а коэффициент $b=5$ (в подобных случаях функция совсем не зависит от значения аргумента $x$, а лишь от числовой величины коэффициента $b$);
а в функции $y = 4\times x$ коэффициент $b$ уже равен $0$.

Последний пример линейной функции (когда коэффициент $b$ равен $0$) – вариант прямой пропорциональности. Ранее вы уже изучали прямую зависимость. Такая зависимость – частный случай линейной функции, при котором формула будет выглядеть, как $y = kx$.

Вспомнить, что такое прямая зависимость

Вспомнил, спасибо!

Если при увеличении одной величины, увеличивается другая, то величины называют прямо пропорциональными, у них прямая зависимость.

Чем больше денег — тем больше можно купить мороженого

Вернемся снова к нашим примерам: если бы в копилке и в ванной изначально было пусто, то функция $y$ увеличивалась бы прямо пропорционально увеличению количества потраченного на наполнение копилки или ванны времени. Коэффициент $b$ в таких случаях равен нулю.

Обратите внимание, что в формуле прямо пропорциональной функции коэффициент $b = 0$, но коэффициент $k$ не равен нулю.

Прямая пропорциональность — базовые понятия

Определение

Пропорциональностью в алгебре называют зависимость между парой величин, при которой изменение одной из них приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает двух видов:

прямая;
обратная.

Пример

Предположим, что скорость движения автомобиля составляет 50 км/ч. По определению, скоростью является расстояние, преодолеваемое за единицу времени. В данном случае транспортное средство проезжает 50 километров в течение 1 часа.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Если автомобиль движется в течение еще одного часа с такой же скоростью 50 км/ч, то он преодолеет расстояние в 100 км.

Согласно примеру, увеличение времени в 2 раза сопровождается увеличением пройденного расстояния во столько же раз, то есть в 2 раза. Величины времени и расстояния будут прямо пропорциональными. Они обладают взаимосвязью, которую называют прямой пропорциональностью.

Определение

Прямая пропорциональность – это взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них приводит к увеличению другой во столько же раз и, наоборот, при уменьшении одной величины в какое-то число раз, другая величина уменьшается во столько же раз.

Предположим, что вначале водитель планировал проехать 100 км за 2 часа, но после того, как он преодолел 50 км, произошла остановка. В таком случае, уменьшая расстояние в 2 раза, получим, что время уменьшится тоже в 2 раза.

Особенностью прямо пропорциональных величин является стабильность их отношений. Таким образом, во время изменения значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается постоянным. Рассмотренная ситуация характеризуется изменением расстояния с 50 км при значении времени в 1 час. Отношение расстояния ко времени равно 50 и определяется формулой:

$\frac{50}{1}=50$

После увеличения времени движения автомобиля в 2 раза, оно составит 2 часа. Таким образом, расстояние также увеличилось в 2 раза до 100 км. Отношение 100 км к 2 часам равно числу 50:

$\frac{100}{2}=50$

Число 50 представляет собой коэффициент прямой пропорциональности. Эта величина демонстрирует, какое расстояние соответствует одному часу движения. В условиях рассматриваемого примера данный коэффициент является скоростью движения автомобиля, исходя из ее определения.

С помощью прямо пропорциональных характеристик можно составлять пропорции. Например, записанные ранее отношения составляют пропорционально:

$\frac{50}{1}=\frac{100}{2}$

Представленное выражение читают таким образом: 50 км так относятся к 1 часу, как 100 км относятся к 2 часам.

Линейное уравнение относительно двух переменных x и y имеет такой вид:

ax + by + c = 0

$a\neq 0$

$b\neq 0$

Известно, что график записанного равенства является прямая линия, любая точка на которой имеет два числа в виде координат x и y, то есть абсциссы и ординаты. Каждая точка этой прямой соответствует заданному уравнению. Если выразить y через x, получим:

by = -ax — c

Принимая во внимание, что $b\neq 0$, можно поделить на него две части выражения:

$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$

Сделать уравнение более удобным можно с помощью следующих обозначений:

$-\frac{a}{b}=k$

$-\frac{c}{b}=m$

Таким образом:

y = kx + m

Данным способом была выведена линейная функция y от x в общем виде. В этом случае были применены новые обозначения:

x — в виде независимой переменной или аргумента;
y — представляет собой зависимую переменную или функцию;
k и m — являются параметрами, полностью и однозначно определяющими конкретную линейную функцию.

В том случае, когда m = 0, уравнение примет вид:

y = kx

Данная функция представляет собой прямую пропорциональность. Она определяется с помощью единственного параметра k.

На что влияют коэффициенты

Рассмотрим такие функции:

$ \displaystyle y=\frac{1}{x};\text{ }y=\frac{2}{x};\text{ }y=\frac{4}{x};\text{ }y=-\frac{1}{x};\text{ }y=-\frac{3}{x}$:

Ух ты, какая красота!

Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь?

Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси $ \displaystyle Ox$.

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, $ \displaystyle y=\frac{1}{x-1}+2$?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная $ \displaystyle y=\frac{1}{x}$, только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен $ x$? Правильно, $ x\ne 1$. Значит, график никогда не достигнет прямой $ x=1$.

А чему не может быть равен $ y$? Теперь $ y\ne 2$. Значит, теперь график будет стремиться к прямой $ y=2$, но никогда ее не пересечет.

Итак, теперь прямые $ x=1$ и $ y=2$ выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции $ \displaystyle y=\frac{1}{x}$.

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.

Таблица пропорциональности

Таблица пропорциональности — это таблица, в которой каждая строка пропорциональна другим. Это способ организации данных, который позволяет распознавать ситуации пропорциональности, определять коэффициент пропорциональности и использовать закон пропорциональности. Это инструмент, который широко используется в преподавании математики ; во Франции он используется из цикла 3 (CM1, CM2, 6 e ) .

Использование таблицы

У нас есть две серии значений, которые обычно соответствуют:

купленное количество и уплаченная цена;
продолжительность поездки и пройденное расстояние.

Чтобы построить таблицу, мы просто помещаем ряд значений в строку, одно над другим. В идеале мы ранжируем значения в порядке возрастания для одной из серий.

Рассмотрим следующие два примера:

Покупка помидоров
Приобретенное количество (кг)	1	2	3	4	5
Заплаченная цена (€)	4	8	12	16	20

Пеший туризм
Время в пути (мин)	10	20	30	40	50
Пройденное расстояние (км)	1	2	3	4	5

Мы видим, что ряд значений увеличивается, с одной стороны, а с другой стороны, мы можем переходить от одной строки к другой, умножая или деля на простое число. Таким образом, мы можем определить ситуацию соразмерности и рассчитать коэффициент пропорциональности: цена за единицу 4 евро / кг для помидоров, 10 мин / км для похода. Коэффициент можно указать рядом с таблицей:

Покупка помидоров
↓ × 4	↑ ÷ 4	Приобретенное количество (кг)	1	2	3	4	5
Заплаченная цена (€)	4	8	12	16	20

Пеший туризм
↓ ÷ 10	↑ × 10	Время в пути (мин)	10	20	30	40	50
Пройденное расстояние (км)	1	2	3	4	5

Тогда можно решить такие проблемы, как: «У меня 10 € , сколько помидоров я могу купить?» «Мне нужно 0,5 кг помидоров, сколько мне это будет стоить? »« Как далеко вы уедете за час (60 мин )? »

Покупка помидоров
↓ × 4	↑ ÷ 4	Приобретенное количество (кг)	1	2	3	4	5	?	0,5
Заплаченная цена (€)	4	8	12	16	20	10	?

Пеший туризм
↓ ÷ 10	↑ × 10	Время в пути (мин)	10	20	30	40	50	60
Пройденное расстояние (км)	1	2	3	4	5	?

Ответы:

за 10 € можно купить 10 ÷ 4 = 2,5 кг ;
покупка 0,5 кг помидоров обойдется в 0,5 × 4 = 2 евро ;
за час (60 мин ) мы преодолеем 60 ÷ 10 = 6 км , следовательно, скорость будет 6 км / ч .

Настольные манипуляции

Рассмотрим следующую таблицу:

Количество	1	3	1.5
Цена	2	6	3

Мы можем добавить столбец в таблицу пропорциональности, добавив два столбца: 3 + 1,5 = 4,5 и 6 + 3 = 9, поэтому

Количество	1	3	1.5	4.5
Цена	2	6	3	9

Мы также можем умножить столбец на константу: 3 × 2 = 6 и 6 × 2 = 12, поэтому

Количество	1	3	1.5	6
Цена	2	6	3	12

Если мы выберем два столбца, произведение чисел, расположенных на одной диагонали, будет равно произведению чисел, расположенных на другой диагонали (перекрестные произведения):

3	1.5
6	3

3 × 3 = 6 × 1,5