Частота, амплитуда, период и фаза колебаний

Продолжительность нормального менструального цикла

Длительность нормального менструального цикла составляет от 20 до 36 дней. Средним показателем считается 28 дней. В связи с этим, в древние времена цикличность процессов в женском организме связывали с движением луны.

Чтобы правильно рассчитать продолжительность цикла, необходимо отметить первый день менструации. Это день, в который появляются кровянистые выделения из влагалища. Последним днем считается день, предшествующий следующей менструации. Чтобы точно проследить цикличность этих процессов, женщине следует вести специальный календарь или пользоваться мобильным приложением. Делать это нужно минимум на протяжении трех месяцев.

На протяжении менструального цикла организм женщины проходит несколько физиологических фаз. Рассмотрим их в таблице.

Дни цикла	Фазы изменений в эндометрии	Изменения в яичниках	Фазы гормональных изменений	Ощущения женщины
1-5 день	Фаза менструации – отторжение маточного эндометрия и выведение его из организма в виде влагалищных выделений.	Фолликулярная фаза – в яичниках вызревают фолликулы.	Передней долей гипофиза активно вырабатывается фолликулостимулирующий гормон (ФСГ). Под действием этого гормона фолликулы продуцируют эстрадиол.	Женщина отмечает кровянистые выделения из влагалища. Часто появляются также тянущие боли внизу живота.
5-15 день	Фаза активного роста эндометрия матки (пролиферативная фаза).	Продолжение фолликулярной фазы. Выделение доминирующего фолликула.	Выработка ФСГ снижается. В организме доминируют гормоны эстрогены – эстрадиол, эстрон и эстриол.	Специфических симптомов не отмечается.
13-16 день	Эндометрий продолжает утолщаться.	Доминирующий фолликул разрывается и из него в просвет маточной трубы выходит яйцеклетка, готовая к оплодотворению.	Резко повышается уровень лютеинизирующего гормона (ЛГ). Это вещество вырабатывается передней долей гипофиза и провоцирует наступление овуляции.	Женщина отмечает увеличение объема и вязкости влагалищных выделений, одностороннюю боль внизу живота.
16-28 день	Секреторная фаза – утолщение эндометрия за счет активации работы маточных желез.	Фаза роста желтого тела (лютеиновая). Желтое тело формируется и растет на месте разорвавшегося фолликула.	Снижается концентрация ФСГ, ЛГ и эстрогенов. Повышается уровень прогестерона, большая часть которого вырабатывается растущим желтым телом.	На фоне повышения уровня прогестерона у женщины может развиваться предменструальный синдром (обычно на 22 день цикла).
Наступает следующая менструация

Если интервал между месячными увеличивается до 40 дней, говорят о нарушении менструального цикла – олигоменореи. Месячные при этом могут быть регулярными или нерегулярными. Связано это нарушение с патологиями работы яичников.

Длительность менструации: норма и патология

Каждую женщину интересует, сколько дней длится менструация в норме. Гинекологи считают нормальными кровянистые выделения длительностью от 3 до 7 дней. Слишком короткие или длинные месячные могут говорить о патологиях репродуктивной системы или возникать на фоне приема некоторых препаратов.

К возможным причинам слишком длительных менструаций относят:

гормональный сбой (нарушение выработки половых гормонов, патологии щитовидной железы);
нарушения свертываемости крови;
гиперплазия матки и шейки матки;
новообразования половых путей (полипы, миомы, онкология);
воспалительные патологии репродуктивных органов;
внематочная беременность.

Вызвать сокращение периода менструальных выделений могут такие факторы:

врожденные особенности строения половой системы;
эндометриоз;
дефицит гормонов на фоне снижения функции яичников и гипофиза;
дефекты стенки матки, образовавшиеся во время операций, абортов, тяжелых родов;
воспаления органов малого таза.

Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Итак, записываем в числителе разность:

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)

В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

Получили выражение, которое вычисляется легко:

Получили ответ

Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается

Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь

Итак, записываем в числителе разность:

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)

В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

Получили выражение, которое вычисляется легко:

Получили ответ

Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже

Избавляемся от хвоста

Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.

Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33

0, (3) ≈ 0,33

Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.

Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

6,31 (6) ≈ 6,317

Начисление отпускных за период, отработанный не полностью

При определении отработанного срока, за который сотруднику предоставляется оплачиваемый отдых, не учитывается время:

получения среднего заработка;
болезни, отпуска по беременности, родам;
неоплачиваемого отпуска;
дополнительных выходных дней по уходу за ребенком-инвалидом;
простоя по вине предприятия;
прочих случаев, предусмотренных законодательством.

При вычитании перечисленных сроков получится, что сотрудник отработал не весь расчетный для отпуска период, а лишь его часть. Это приводит к неполному времени отдыха, которое требуется определить.

Чтобы найти, сколько календарных дней расчетного периода причитается работнику на отпуск, необходимо выполнить несколько математических действий:

1. Вычислить количество отработанных дней неполного трудового месяца: Т_д. = 29.3 : Т_д.м.× Т_от.д., где:

Т_д.м. – количество календарных дней месяца;
Т_от.д. – количество фактически отработанных дней.

2. Определить величину среднедневного заработка по формуле: С_д. = З : (29.3 × Т_м. + Т_д.), где:

З – общая сумма заработка, начисленного за период;
Т_м. – количество полностью отработанных месяцев;
Т_д. – количество отработанных дней неполного трудового месяца (см. п. 1).

Если в одном периоде присутствует сразу несколько неполных месяцев, расчет следует сделать раздельно по каждому из них, а затем суммировать результаты.

Виды календарных периодов

1 января – это начало календарного года

Чтобы не возникало путаницы, приведем элементарные примеры. Каждое 31 декабря мы ждем как праздник, и уже полночь с 31 декабря на 01 января это считается началом календарного года.

Указывая дату, ставим год, который представляет собой некую систему летоисчисления.

Более понятно становится, если смотреть на календарь как список дней, разделенный по неделям, месяцам, с выделением выходных, праздников.

Год начинается 01 января и заканчивается 31 декабря.

Всего 12 месяцев, которые начинаются также с первого числа и заканчиваются в зависимости от продолжительности. Например, январь, март, май, июль, октябрь, декабрь закончатся – 31 числа. Остальные месяцы закончатся – 30 числа. Исключением является февраль, в 2021 он закончился 28 числа, и следующие 2 года его окончание придется на 28 число и только 2024 будет вновь високосным.

Каждая неделя длится 7 дней с понедельника по воскресенье, причем числа начала, конца недели могут быть абсолютно разными – с 1 по 31.

Если уже говорить о дне – это будет конкретная дата месяца с уточнением года, имеющая номер счета с начала недели и своим наименованием (понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье).

Как трактуются сроки в договорах?

Официальное оформление достигнутой договоренности требует соблюдения определенных правил.

Письменный договор предполагает указание:

места и даты его заключения;
полной информации о сторонах, берущих на себя взаимные обязательства;
предмет договоренности;
прав и ответственности сторон;
сроки действия.

Если условия выполнения обязательств определены на период, который считается календарным, это может быть истолковано, что его действие закончится 31 декабря, а не через 12 месяцев после даты подписания сторонами.

Аналогичная ситуация может возникнуть при необходимости пролонгации соглашения.

Когда одним из пунктов договора или при заключении дополнительного соглашения на его продление указывают период как календарный месяц или год, придется перезаключать договор – уже по истечении месяца, в каком заканчиваются установленные сроки, или с 01 января.

Составляя официальные документы, нужно иметь в виду, что формулировка сроков может трактоваться в зависимости от употребленных терминов.

Важно предельно четко прописать в договоре сроки и периоды, для избежания разночтений

Начало менструации: норма и патология

В норме первая менструация у девочки происходит в возрасте с 11 до 14 лет. Желательно посетить гинеколога после завершения первых месячных. Врач оценит состояние здоровья пациентки, и соответствие полового развития возрасту. Также записаться на прием к врачу следует, если месячные начались раньше 11 лет, или менструация не произошла в возрасте старше 14 лет.

На возраст начала менструации оказывают влияние такие факторы:

особенности гормонального фона;
уровень физического развития;
половая конституция;
психоэмоциональное состояние;
качество питания;
наследственные факторы;
патологии половых органов.

Первую менструацию врачи называют менархе. Ее наступление говорит о том, что процессы полового созревания протекают правильно и репродуктивная система девочки здорова. Опытный гинеколог может заметить признаки приближения менархе еще за 2 года до их начала. В это время у девочки начинают увеличиваться молочные железы, происходит оволосение по женскому типу, увеличиваются размеры таза.

Важно, чтобы мама, сестра или другая близкая женщина подготовила девочку к приближающимся изменениям в ее организме. Это позволяет избежать стресса и страха, которые часто вызывают у подростков первые месячные.

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Тут есть два варианта:

В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным.
В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь невозможно представить в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, нужно найти ее периодическую и непериодическую часть. Чтобы это сделать нужно привести дробь в неправильную, а затем разделить числитель на знаменатель столбиком.

Что будет происходить в процессе:

сначала нужно будет разделить целую часть, если она есть;
могут быть несколько чисел после десятичной точки;
через некоторое время цифры начнут повторяться.

Повторяющиеся цифры после десятичной точки нужно обозначить периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Пример. Перевести обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Как решаем:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель уголком:

Остатки начали повторяться. Запишем дробь в соответствии с условиями задачи: 1,733 … = 1,7(3).

В итоге получаем: 0,5833 … = 0,58(3).

Фиксируем: 4,0909 … = 4,(09).

Получаем десятичную периодическую дробь: 0,4141 … = 0,(41).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Чему равна последовательность?

Поразмыслив, вы могли решить, что если бы надо было присвоить какое-то значение этой последовательности, то им бы стал ноль. Ведь каждое следующее значение последовательности всё ближе подбирается к нулю.

Если бы я выбрал другое число (0,001, например), оно могло бы казаться подходящим до тех пор, пока я не добрался бы до такого числа последовательности, как 1/100000000000 = 0,00000000001, а это уже намного дальше!

А что если сравнить две последовательности рациональных чисел?

Можно сказать, что последовательности «равны», если разница между ними стремится к нулю.

Например, давайте сравним последовательность из единиц, т.е. все числа в ней — единицы (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ….) с такой последовательностью (0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 0,99999…).

Разница между этими двумя последовательностями стремится к нулю и очень быстро! Разница между первыми числами последовательностей равна 1–0,9=0,1. Разница между вторыми числами последовательностей равна 1–0,99=0,01. А разница между N-ми числами последовательностей равна 0,00…..01 = 1/1⁰¹⁰. То есть ноль целых и N-1 нулей перед единицей (или ноль целых один в -N степени).

Свойства вещественных чисел, связанные с неравенствами.

Лемма 1.

Если α и β — вещественные числа, причем α < β, то найдется такое рациональное число r, что$$\alpha < r < \beta\label{ref7}$$

а) Пусть α и β — рациональные числа (α ∈ $\mathbb{Q}$, β ∈ $\mathbb{Q}$). Тогда для них определены арифметические операции, и в качестве r можно взять число $\frac{\alpha+\beta}2$, так как

$$\alpha < \frac{\alpha+\beta}2 \ <\beta\nonumber$$

б) Пусть по крайней мере одно из чисел α, β является иррациональным. Будем считать, что β ∈ $\mathbb{J}$. Предположим для определенности, что α ≥ 0 и что

$$\alpha=a_0,a_1a_2…a_n…\nonumber$$

Так как β > α и α ≥ 0, то β > 0. Пусть

$$\beta=b_0,b_1b_2…b_n…\nonumber$$

Пусть p — наименьший номер, при котором нарушается равенство a_k = b_k (k=0,1,2,…). Будем считать, что p > 0. Тогда

$$a_0=b_0,\qquad…,\qquad a_{p-1}=b_{p-1},\qquad a_p < b_p\label{ref8}$$

По условию β ∈ $\mathbb{J}$, и, значит, β не может быть конечной десятичной дробью (бесконечной периодической дробью с периодом 0). Поэтому найдется номер номер, больший p (обозначим его p+m) и такой, что

$$b_{p+m} > 0\label{ref9}$$

Покажем, что рациональное число r = a,a₁…a_p-1b_p…b_p+m-1(0) удовлетворяет условию \eqref{ref7}. Из \eqref{ref8} следует, что α < r. Далее, r = b,b₁…b_p+m-1(0) < b,b₁…b_p+m-1b_p+m… в силу условия \eqref{ref9}, то есть r < β. Итак, доказано, что α < r < β, причем r ∈ $\mathbb{Q}$.

Следствие.

Если α ∈ $\mathbb{R}$, β ∈ $\mathbb{R}$ и α < β, то $$\exists r \ \in \ \mathbb{Q}\quad\exists r’ \ \in \ \mathbb{Q}:\quad\alpha < r < r’ < \ \beta\label{ref10}$$

Лемма 2.

Пусть δ ∈ $\mathbb{R}$, δ’ ∈ $\mathbb{R}$ и пусть существуют такие последовательности рациональных чисел {x_n} и {y_n}, что для всех n ∈ $\mathbb{N}$ справедливы неравенства$$x_n \ \leq \ \delta \ \leq \ \delta^, \ \leq \ y_n,\label{ref11}$$

$$y_n-x_n \ \leq\frac1{10^n}.\label{ref12}$$

Тогда

$$\delta \ = \ \delta^,.\label{ref13}$$

$\circ$ Пусть равенство \eqref{ref13} не выполняется; тогда из условия \eqref{ref11} следует, что δ < δ’. В силу следствия леммы 1 существуют рациональные числа r и r’ , такие, что

$$\delta < r < r^, < \delta^,.\label{ref14}$$

Из \eqref{ref14} следует, что r’-r > 0, и поэтому

$$\exists m\in\mathbb{N}: \ \ \ \ \ r^,-r > \frac1{10^m}.\label{ref15}$$

Из \eqref{ref11} и \eqref{ref14} следует, что

$$x_n \ \leqslant \ \delta < r < r^, < \delta^, \ \leqslant \ y_n,\nonumber$$

откуда в силу транзитивности правила сравнения получаем

$$x_n < r < r^, < y_n.\label{ref16}$$

Используя неравенства \eqref{ref15}, \eqref{ref12}, \eqref{ref16} и свойства неравенств для рациональных чисел, получаем

$$\frac1{10^m} < r^,-r < y_n-x_n \ \leqslant \ \frac1{10^n},\nonumber$$

откуда следует, что

$$\frac1{10^m} < \frac1{10^n}.\label{ref17}$$

Неравенство \eqref{ref17} должно выполняться при фиксированном m ∈ $\mathbb{N}$ и при любом n ∈ $\mathbb{N}$. Однако, при n = m неравенство \eqref{ref17} не выполняется. Поэтому неравенство δ < δ’, не может иметь место, то есть справедливо равенство \eqref{ref13}. $\bullet$

«Замороженного конфликта не будет»

Эксперты говорят, что русским не хватает не только живой силы, но и координации между разными подразделениям.

За два месяца боевых действий путинская армия продемонстрировала низкие результаты в согласовании приказов между соседними силами или успешном командовании крупными военныии формированиями, считают аналитики.

Материально-технические проблемы — поставка боеприпасов, топлива и даже продуктов питания — не решались эффективно. Факторы окружающей среды — погода, местность, весенняя оттепель — также блокировали Россию, препятствуя передвижению по бездорожью. Российская армия также по-прежнему сталкивается с серьезными моральными проблемами, препятствующими выполнению операций, передает Newsweek мнение экспертов.

Все это внушает украинским властям уверенность в возможной победе.

Советник Зеленского Михаил Подоляк недавно пообещал, что Украина не сдастся — что она не только сдержит Россию, но и освободит всю провинцию.

«Вы даже не можете сомневаться в том, что у государства есть стратегия деоккупации всех городов и сел на юге Украины, — сказал он — Никакого замораживания конфликта не будет».

А министр иностранных дел Украины Дмитрий Кулеба сделал прогноз, что исход войны будет решен на поле битвы, а не за столом переговоров. 25 апреля то же сказал и глава МИД России Сергей Лавров.

Ранее Телеграф сообщил, что СМИ пишут, что в Украину доставили мощную американскую реактивную систему залпового огня. Такого дальнобойного оружия у ВСУ еще не было. Эксперты рассказали, поможет ли оно остановить наступление России на Донбассе и не только?

Мнение авторов или участников интервью может не совпадать с позицией редакции! Если вы эксперт в своей области, пишите нам, предлагайте свое собственное мнение.

Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.

Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:

А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:

Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:

Получили обыкновенную дробь .

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается

Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:

Полученную дробь можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается

Объем менструальных выделений: норма и патология

За все дни одной менструации в норме женщина теряет до 250 мл крови. Это соответствует одному стакану. Суточная кровопотеря в среднем составляет 40-60 мл. Эти потери крови организм восстанавливает самостоятельно без приема дополнительных средств.

Женщине определить точный объем потерь крови во время менструации самостоятельно сложно. Чаще всего обильность оценивается количеством используемых гигиенических средств. Умеренным считается кровотечение, при котором одна прокладка или тампон среднего объема заполняется полностью за 4 часа.

Если средства гигиены необходимо менять каждые 1-2 часа, говорят об обильной кровопотере – меноррагии. При возникновении такого симптома следует немедленно обратиться к гинекологу, поскольку регулярные потери крови более 250 мл. опасны для здоровья. На начальных этапах у пациентки снижается уровень гемоглобина в крови, что может привести к железодефицитной анемии. Кроме того, причиной слишком обильных месячных может стать патология органов половой системы.

Иррациональные и действительные числа

Долгое время дробей было достаточно человечеству для любых расчетов. Древние греки полагали, что любое отношение величин, которое может встретиться в реальном мире, будет выражаться какой-нибудь дробью. Однако это не так. Один из учеников Пифагора, Гиппас, пытался найти соотношение между стороной квадрата и его диагональю. В результате он осознал, что такой дроби просто не существует.

Это соотношение равно квадратному корню из 2 (что доказывается в курсе геометрии), которое обозначается как . Это такое число, которое при умножении на само себя дает 2. Докажем, что оно не может быть выражено несократимой дробью.

При этом она равна дроби 2/1. Следовательно, b*b = 1 , а a*a = 2. Однако не существует такого натурального числа a, которое при умножении на себя дает 2. Получается противоречие, значит, нельзя представить в виде дроби. Математики говорят, что является иррациональным числом. Аналогичным образом можно доказать иррациональность квадратного корня из любого натурального числа, не являющимся квадратом другого натурального числа.

Исторически именно был первым иррациональным числом, открытым человечеством. Его значение примерно равно 1,414213562. Способы его вычисления будут освещены позже. Заметим лишь, что у этого числа нельзя найти периода в его десятичной записи.

Вообще любое иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Это значит, что в числах после запятой не будет никакого периода. Чуть раньше мы уже приводили два примера иррациональных чисел:

0,12345678910111213141516…;
0,10100100010001000001….

Ещё одним иррациональным числом является π, которое равно отношению длины окружности к ее диаметру и примерно равно 3,1415926…

Для обозначения множества иррациональных чисел используется буква I.

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел, обозначаемое буквой R. Иногда их также называют вещественными числами.

Слово «вещественное» указывает на физический смысл этого понятия. Любой результат измерения какой-либо величины (длины, площади, объема, массы и т. д.) является вещественным числом.

Важно, что на числовой прямой, или координатной оси, каждой точке в соответствие можно поставить действительное число, и наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. В качестве примера показаны числа π и на числовой прямой:

Таким образом, можно составить следующую классификацию чисел, используемых в математике:

Все числа, которые встретятся в ходе изучения школьной программы математики и других наук, будут действительными. Однако стоит отметить, что в высшей математике, изучаемой в университете, будут изучаться и более сложные объекты, называемые комплексными числами.

Бесконечные десятичные дроби и их приближения.

Периодичные десятичные дроби.

Известно, что любое рациональное число можно представить либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической дроби. Например, рациональному числу 5/8 соответствует конечная десятичная дробь 0,625, то есть 5/8=0,625. Аналогично, рациональному числу −27/11 соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь −2,454545… = −2(45), то есть −27/11 = −2(45).

Обратно: зная бесконечную периодическую десятичную дробь, можно найти рациональное число, представлением которого эта дробь является. Для этого используют формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $a+aq+aq^2+…=\frac a{1-q}, \ \left|q\right|<1$.

Например,

$$2,(45)=2+\frac2{45}+\frac2{45^2}+…=2+\frac{\displaystyle\frac{45}{100}}{1-{\displaystyle\frac1{100}}}=2+\frac{45}{99}=\frac{27}{11}\nonumber$$

Рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, будем отождествлять с соответствующей бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде. Заметим, что рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, можно записать и в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например, 2,5 = 2,5(0) = 2,4(9).

Таким образом, между множеством всех рациональных чисел и множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью. с цифрой 0 в периоде.

Множество вещественных чисел.

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида
$$\pm a_0,a_1a_2…a_n…\label{ref2}$$

Эта дробь определяется заданием знака + или −, целого неотрицательного числа a и последовательности десятичных знаков a₁, a₂, …, a_n,…(множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Всякую дробь вида \eqref{ref2} будем называть вещественным числом. Если перед дробью \eqref{ref2} стоит знак +, его обычно опускают и пишут

$$a_0,a_1a_2…a_n…\label{ref3}$$

Число вида \eqref{ref3} будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел a, a₁, a₂, …, a_n, … отлично от нуля — положительным вещественным числом. Число вида

$$-a_0,a_1a_2…a_n…\label{ref4}$$

где хотя бы одно из чисел a, a₁, a₂,… отлично от нуля, будем называть отрицательным вещественным числом.

Если a = a,a₁a₂…a_n… и b = −a,a₁a₂…a_n…, то число b называют противоположным числу a, а число a — противоположным числу b.

Если дробь \eqref{ref2} является периодической, то ее называют рациональным числом, а если эта дробь не является периодической, то ее называют иррациональным числом. Множество всех десятичных дробей вида \eqref{ref2} называют множеством вещественных чисел и обозначают $\mathbb{R}$, а его подмножество, состоящее из непериодических десятичных дробей, — множеством иррациональных чисел и обозначают $\mathbb{J}$.

Примеры иррациональных чисел.

$$a=0,1234567891011…\label{ref5}$$

Здесь после запятой стоят натуральные числа, выписанные последовательно друг за другом, начиная с единицы.

$$b=27,1010010001000010…\label{ref6}$$

Здесь после запятой выписаны подряд числа 10, 102 = 100, 103 = 1000, 104 = 10000 и т. д.

Десятичные приближения вещественных чисел.

Поставим в соответствие неотрицательному вещественному числу \eqref{ref3} конечные десятичные дроби

$${\overline\alpha}_n=a_0,a_1a_2…a_n+\frac1{10^n},\quad\underline{\alpha}_n=a_{0,}a_1…a_n\nonumber$$

и будем называть их n-ми десятичными приближениями числа α=a,a₁a₂…a_n… соответственно с избытком и недостатком. Если α — отрицательное вещественное число вида \eqref{ref4}, то для него n-е десятичные приближения с избытком и недостатком определяются соответственно равенствами

$${\overline\alpha}_n=-a_0,a_1…a_n,\quad\underline{\alpha}_n=-a_0,a_1…a_n-\frac1{10^n}.\nonumber$$

Десятичные приближения найдут свое применение при определении арифметических операций на множестве $\mathbb{R}$.