Что такое равенство в математике 1 класс?

Уравнения

После изучения вопроса, что такое равенство, можно приступать к следующему пункту: что такое уравнение. Под уравнением понимается равенство, в котором присутствуют неизвестные величины. Решением уравнения называют нахождение всех значений переменной, при которых обе части всего выражения будут равны. Также встречаются задания, в которых нахождение решений уравнения невозможно. В таком случае говорят, что корней нет.

Как правило, равенства с неизвестными в качестве решения выдают целые числа. Однако возможны случаи, когда корнем являются вектор, функция и другие объекты.

Уравнение является одним из важнейших понятий в математике. Большинство научных и практических задач не позволяют измерить или вычислить какую-либо величину. Поэтому необходимо составлять соотношение, которое удовлетворит все условия поставленной задачи. В процессе составления такого соотношения появляется уравнение или система уравнений.

Обычно решение равенства с неизвестным сводится к преобразованию сложного уравнения и сведению его к простым формам. Необходимо помнить, что преобразования нужно проводить относительно обеих частей, в противном случае на выходе получится неверный результат.

Урок математики в 1-м классе по теме “Равенство. Неравенство”

Разделы:
Начальная школа

Цели:

• познакомить с терминами « равенство», « неравенство»;
• продолжить работу по формированию умения сравнивать числа и числовые выражения;
• отработать устный счет, формируя вычислительные навыки;
• закрепить пространственные представления;
• развивать двигательную активность;
• провести работу по развитию связной речи.

II. Подготовительная работа.

Устный счет.

Работа с веером.

– В домике живет цифра 5. Нужно узнать какой цифры не хватает на каждом этаже, чтобы результат был равен 5. (Дети показывают ответ с помощью математического веера.)

– Назовите ответ.

Счет «цепочкой» от 1 до 10 прямой и обратный от 10 до (мячом).

– По очереди посчитайте от 1 до 10.

– Теперь в обратном порядке от 10 до 1.

Работа с математическим набором.

– Откройте математические наборы.

– Положите 4 красных кружка, рядом 1 кружок другого цвета.

– Сколько кружков стало? (5)

– Составьте пример пользуясь цифрами из математического набора. (4+1=5)

– Как записать? (Запись на доске)

– Оставьте цифры 4 и 5.

– Какое число меньше? (4)

– Какую запись записать? (4<5)

– Прочитаем запись. (Четыре меньше пяти.)

– Какое число больше 4? (5)

– Поставьте цифру 5 слева от 4.

– Какой знак между ними поставить? (5>4)

– Прочитайте запись . (Пять больше четырех.)

– Уберите математический набор.

Физминутка. 

III. Основная часть.

Работа на доске.

– Поставьте 3 морковки сверху.

– Поставьте 3 репки снизу.

– Что можно сказать о количестве морковок и репок? (Их поровну. Столько же.)

– Какой знак поставим между цифрами? (Равно.)

Учитель записывает на доске 3=3.

– Это равенство –  тема урока.

– Кто любит грызть морковку? (Зайчик.)

Учитель ставит зайчика к морковкам.

– Какую сказку узнали по картинкам? («Репка»)

Предлагается драматизация сказки «Репка», раздаются сказочные персонажи:

• репка
• дедка
• бабка
• внучка
• Жучка
• кошка
• мышка

– Встаньте по порядку, как стояли сказочные герои в сказке.

Дети проговаривают последовательность персонажей сказки (кто за кем стоит).

– Сколько репок вытащили герои сказки? (1)

– Что нужно сделать с репками, которые расположены на доске? (Убрать 1.)

– Сколько морковок? (3)

– Сколько репок? (2)

– Как узнали? (3-1=2)

На доске запись 3 2

– Какой знак поставим между цифрами? (>)

– Сколько репок? (2)

– Сколько морковок? (3)

– Какой знак поставим между цифрами? (<)

– Это неравенство.

Физминутка.

IV. Закрепление изученного материала.

Работа в учебнике.

– Прочитайте название темы в учебнике. (Равенство. Неравенство.)

– Посмотрите, с какой стороны написаны равенства? (Слева.) Прочитайте.

– С какой стороны в учебнике написаны неравенства? (Справа.) Прочитайте.

V. Рефлексия.

– С какой темой урока вы сегодня познакомились?

– Какой математический знак используется при записи равенства?

– Какие знаки при записи неравенства?

6.05.2010

Урок по математике для 1 класса ” Равенство. Неравенство”

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Аксубаевская СОШ №3»

Открытый урок

по математике

в 1 классе

по теме:

«Равенство. Неравенство».

Подготовила и провела

учитель начальных классов

Шулаева Т.Н.

2014-2015 уч.год

Цель:

в ходе практической работы и наблюдений познакомить с понятием «равенство», и « неравенство.

Планируемые результаты:

дети научатся сравнивать любые два числа и выражения и записывать результат сравнения, используя знаки < > =, различать равенства и неравенства, читать равенства и неравенства, выполнять мыслительные операции, применять полученные знания, оценивать себя.

Оборудование: цифры , полочки.

Ход урока

1. Орг. момент.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Я хочу, чтобы вы сегодня думали, слушали, сделали определенные выводы и смогли свои знания применить на практике.

1. Актуализация знаний:

1. Устный счет:

– счет хором от 1 до 10 и обратно;

– работа с цифрами:

– покажите число, которое следует за числом 3, 5, 8;

– покажите число, которое стоит между числами 1 и3, 3 и 5, 8 и 10;

– покажите число, которое предшествует числу 4, 5, 2.

2) логическая разминка:

– возьмите 12 палочек, составьте такую же фигуру, как на доске

Переставьте три палочки, чтобы квадратов стало 4.

3)Игра « Засели домик». У доски три человека вписывают цифры в окошки.

Ребята, а теперь проверим, верно ли наши ребята выполнили работу.

Я показываю вписанное число, если вы согласны, то встаете, если не согласны, то сидите.

Структура ТЭК-ОФ-ТАЧ-ДАУН

4) Ребята у вас на столе карточки

Структура РЕЛЛИ ТЕЙБЛ

Возьмите листочки. Выполните задания. Вместо пустого места нужно поставить знак + или -, или цифру.

2….3=5 5….3=2

4-….=3 ….-1=2

Проверим. Структура ТЭК-ОФ-ТАЧ-ДАУН.

1. Самоопределение к деятельности:

Положите слева 3 палочки. Справа 1.

Сколько стало?

Какой пример можно записать?

Пишу на доске 3+1=4

Как бы вы назвали эту запись?

Правильно, равенство.

Сколько палочек было слева?

Сколько палочек стало?

Какой знак нужно поставить между этими числами?

Запишем: 3 <4.

Прочитаем.

Как нужно изменить запись так, чтобы стал знак «Больше»?

Запись на доске.

Как бы вы назвали эти записи?

Молодцы, неравенство!

Давайте в учебнике на с. 49 прочитаем, как эти записи предлагает назвать автор учебника.

Прочитайте.

Ребята, что мы будем делать сегодня на уроке?

Прочитайте на с.48.

Будем учиться распознавать и составлять числовые равенства и неравенства.

4.Физминутка

5.Работа по теме урока

1) работа по учебнику с.48

-Ребята, как вы понимаете, что такое равенство?

Что такое неравенство?

Посмотрите на рисунок слева с.48 учебника. Рассмотрите к нему запись. Объясните 4+1=5

4=4

Как называются эти записи?

Почему?

Посмотрите на рисунок справа. Рассмотрите запись. Объясните, что они означают?

Какой знак стоит в неравенствах?

Давайте в учебнике на с.48 прочитаем записи и будем определять, что это равенство или неравенство. ( с места по цепочке)

1. Посмотрите на значок в учебнике. Что он означает?

Правильно, будем сравнивать.

1. Прочитайте следующее задание в учебнике на с. 48.

– Как вы понимаете слова « равенство», «неравенство»?

Как понимаете « неверное равенство»?

Как понимаете « Неверное неравенство»?

Найдите неверные равенства и неравенства.

Дети называют. Учитель делает запись на доске. Замените в них одно число так, чтобы они стали верными.

1. Работа по учебнику с.49

2. Работа в тетради на печатной основе с.19

6. Рефлексия

Работа в тетради на печатной основе.

Оцените себя.

7. Итог урока:

Как вы поняли, что такое неравенство? Равенство?

Какие знаки могут стоять в неравенстве?

Какие знаки могут стоять в равенстве?.

Равенство в теории множеств [ править ]

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установите равенство на основе логики первого порядка с помощью равенства править

В логике первого порядка с равенством аксиома протяженности утверждает, что два набора, содержащие одинаковые элементы, являются одним и тем же набором.

• Аксиома логики: x = y ⇒ ∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )
• Аксиома логики: x = y ⇒ ∀ z , ( x ∈ z ⇔ y ∈ z )
• Аксиома теории множеств: (∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )) ⇒ x = y

Включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как простое удобство, как отмечает Леви.

«Причина, по которой мы беремся за исчисление предикатов первого порядка с равенством, заключается в удобстве; тем самым мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; теперь это бремя ложится на логику».

Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства править

В логике первого порядка без равенства, два набора определяются равными , если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах.

• Определение теории множеств: « x = y » означает ∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )
• Аксиома теории множеств: x = y ⇒ ∀ z , ( x ∈ z ⇔ y ∈ z )

Как решать уравнения с модулем

Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнения типа |x| = a

Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если |x| &lt, a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Уравнения типа |x| = |y|

Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).

Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.

Уравнения типа |x| = y

Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

• свойство рефлексивности: a=a;
• свойство симметричности: если a=b, то b=a;
• свойство транзитивности: если a=b и b=c, то a=c,где a, b и c – произвольные числа.

Определение 2

Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6=6, −3=−3,  437=437 и т.п.

Доказательство 1

Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства a−a=для любого числа a: разность a−a можно записать как сумму a+(−a), а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число −a, и сумма их есть нуль.

Определение 3

Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b,
то число b равно числу a. К примеру, 43=64, тогда 64=43.

Доказательство 2

Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a=b соответствует равенство a−b=. Докажем, что b−a=.

Запишем разность b−aв виде −(a−b), опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна -, а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, b−a=, следовательно: b=a.

Определение 4

Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81=9 и 9=32, то  81=32.

Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a=b и b=c соответствуют равенства a−b= и b−c=.

Доказательство 3

Докажем справедливость равенства a−c=, из чего последует равенство чисел a и c. Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a−c  запишем в виде a+−c. Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел −b и b, тогда крайнее выражение станет таким: a+(−b+b)−c. Выполним группировку слагаемых: (a−b)+(b−c). Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма (a−b)+(b−c) есть нуль. Это доказывает, что, когда a−b= и b−c=, верно равенство a−c=, откуда a=c.

Заметки [ править ]

1. ^ a b «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 1 марта 2020 . Дата обращения 1 сентября 2020 .
2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Равенство» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 1 сентября 2020 .
3. ^ Россер 2008 , стр. 163.
4. ^ Леви 2002 , стр. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999 , стр. 2. Мендельсон 1964 , с. 5.
5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Равный» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 1 сентября 2020 .
6. ^ «Список символов геометрии и тригонометрии» . Математическое хранилище . 17 апреля 2020 . Дата обращения 1 сентября 2020 .
7. ^ ( Мазур 2007 )
8. Перейти ↑ Kleene 2002 , p. 189. Леви 2002 , стр. 13. Шенфилд 2001 , стр. 239.
9. ↑ Леви, 2002 , с. 4.
10. Перейти ↑ Mendelson 1964 , pp. 159–161. Россер 2008 , стр. 211–213

Основные свойства

Замещающая собственность: Для любого количество а и б и любое выражение F(Икс), если а = б, тогда F(а) = F(б) (при условии, что обе стороны правильно сформированный).

Вот некоторые конкретные примеры этого:

• Для любого действительные числа а, б, и c, если а = б, тогда а + c = б + c (здесь, F(Икс) является Икс + c);
• Для любого действительные числа а, б, и c, если а = б, тогда а − c = б − c (здесь, F(Икс) является Икс − c);
• Для любого действительные числа а, б, и c, если а = б, тогда ac = до н.э (здесь, F(Икс) является xc);
• Для любого действительные числа а, б, и c, если а = б и c не является нуль, тогда а/c = б/c (здесь, F(Икс) является Икс/c).

Рефлексивное свойство: В любом количестве а, а = а.

Симметричное свойство: Любое количество а и б, если а = б, тогда б = а.

Переходное свойство: Любое количество а, б, и c, если а = б и б = c, тогда а = c.

Эти три свойства делают равенство отношение эквивалентности. Первоначально они были включены в число Аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя симметричные и транзитивные свойства часто рассматриваются как фундаментальные, их можно вывести из свойств замещения и рефлексивных свойств.

Метод интервалов в задачах с модулем

Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.

Для использования метода нужно совершить следующие действия:

1. Приравнять каждое выражение к нулю.
2. Найти значения переменных.
3. Нанести на числовую прямую точки, полученные в пункте 2.
4. Определить на промежутках знак выражений (отрицательное или положительное значение) и нарисовать символ – или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
5. Решить неравенства с полученными знаками.

Пример 1. Решить методом интервалов.

Решение:

Результатом будет сумма всех подходящих интервалов.

Справедливость

Что такое справедливость? Согласно Большой российской энциклопедии, это «общая нравственная санкция совместной жизни людей, рассмотренной преимущественно под углом зрения сталкивающихся желаний, интересов, обязанностей». Многие словари дают довольно размытое определение вроде «справедливое отношение к чему-либо». Мы можем предположить, что справедливость – это распределение общественных благ (как материальных, так и нематериальных) и взаимодействий таким образом, который не вызывает возражений у большинства людей и не противоречит фундаментальным правам человека.

В своей «Теории справедливости» Джон Ролз формулирует два принципа справедливости. Первый принцип заключается в том, что «каждый индивид должен обладать равным правом в отношении наиболее общей системы равных основных свобод, совместимой с подобными системами свобод для всех ». Второй принцип звучит так:

То есть из теории Ролза выходит, что справедливость подразумевает равноправие и сопоставимые стартовые возможности, но не абсолютное равенство. Учебник «Основы социальной демократии» делит справедливость на справедливость по труду и справедливость по потребности. Справедливость по труду заключается в простой истине, что тот, кто больше работал или же чья работа ценнее, тот должен получать большую выгоду от своей работы. Однако авторы учебника также задают вопрос: «действительно ли вклад председателя правления фирмы в её экономический успех настолько больше, чем вклад работницы на конвейере? Действительно ли биржевой аналитик работает более эффективно, чем медсестра?» Определить это практически невозможно, однако можно контролировать, чтобы это расхождение не было столь сильным, чтобы входить в противоречие с общими представлениями о справедливости, и одновременно с этим не становилось столь слабым, чтобы входить в противоречие с механизмами мотивации.

Что касается справедливости по потребностям, то «в данном случае критерием является то, какие блага должны получать разные люди, исходя из их социального положения. Например, больной человек нуждается в уходе определённого уровня. Здоровый человек не может претендовать на такой уход, потому что такая потребность у него отсутствует либо его потребность не признаётся обществом. На справедливость по потребностям ориентировано большинство социальных услуг в соответствии с Кодексом социального права». Все эти факторы оказывают влияние на представление социал-демократов о справедливости.

Правило встречается в следующих упражнениях:

1 класс

Страница 63,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 1

Страница 121,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 1

Страница 19,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 21,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 29,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 12. Вариант 1. № 3,
Волкова, Проверочные работы

Страница 13. Вариант 2. № 3,
Волкова, Проверочные работы

Страница 20. Вариант 1. № 1,
Волкова, Проверочные работы

Страница 52. Вариант 1. Тест,
Волкова, Проверочные работы

Страница 57,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

2 класс

Страница 80,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 27. Тест 2. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 40. Вариант 1. Тест 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 60. Вариант 1. № 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 66. Вариант 1. Тест 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 54,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 56,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 49,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 59,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

3 класс

Страница 6,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 9,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 57,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 80,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 29,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 10. Вариант 1. № 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 46. Вариант 1. Проверочная работа 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 76. Вариант 1. Тест 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 63,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 11,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс

Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 34,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 44,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 61,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 74,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 14,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 78,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 76. Тест. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 77. Тест. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 60,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

5 класс

Задание 626,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Упражнение 120,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 121,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 122,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

5 способов доказать тождество

Чтобы доказать равенство тождественное, нужно провести преобразование выражений.

I способ

Необходимо провести равносильные преобразования в левой части. В результате получается правая часть, и можно говорить о том, что тождество доказано.

II способ

Все действия по преобразованию выражения происходят в правой части. Итогом проделанных манипуляций является левая часть. Если обе части идентичны, то тождество доказано.

III способ

«Трансформации» происходят в обеих частях выражения. Если в результате получатся две идентичные части, тождество доказано.

IV способ

Из левой части вычитается правая. В результате равносильных преобразований должен получиться нуль. Тогда можно говорить о тождественности выражения.

V способ

Из правой части вычитается левая. Все равносильные преобразования сводятся к тому, чтобы в ответе стоял нуль. Только в таком случае можно говорить о тождественности равенства.

Расовое равенство

Расовое равенство — это концепция, основанная на идее, что все люди равны и что нет разных человеческих рас. Все этнические группы должны иметь те же права и обязанности, что и граждане.

Идея расового равенства стала укрепляться только после отмены рабства в конце девятнадцатого века (в Бразилии). Лица, отнесенные к категории «черной расы» из африканских стран, были порабощены за то, что считались подчиненными «белой расе».

Антисемитизм и идеал превосходящей чистой расы, отстаиваемый Адольфом Гитлером, были причиной гибели миллионов негров и евреев во время Второй мировой войны. После конфликта существование законов, обеспечивающих равенство между этническими группами, стало незаменимым во всем мире.

В Бразилии Закон о расовом равенстве предусмотрен законом № 12 288 от 21 июля 2010 года, который направлен на предотвращение расовой дискриминации в стране с применением судебных наказаний; в дополнение к созданию или поощрению образовательных программ для повышения осведомленности населения о неравенстве между различными расовыми группами.

Социальное равенство

Концепция социального равенства легче воспринимается, если рассматривать ее с противоположной точки зрения, с точки зрения социального неравенства. Социальное неравенство — это когда существует большая разница между самыми богатыми и самыми бедными слоями населения, где экономическое неравенство порождает социальные проблемы, такие как насилие и преступность. Одним из способов добиться большего социального равенства является государственная политика в отношении перераспределения доходов и инвестиций в образование.

Узнайте больше о значении социального неравенства.

Определения равенства

Равенство является интуитивно очевидным отношением: значение двух выражений одно и то же. При его формальном определении возникает разнобой.

Теория множеств, по определению, считает два объекта (то есть, два множества) равными, если они состоят из одних и тех же элементов:

A=B  ⇔  ∀x (x∈A) ⇔ (x∈B){\displaystyle A=B\ \ \Leftrightarrow \ \ \forall x\colon \ (x\in A)\ \Leftrightarrow \ (x\in B)}

В теориях с типизацией объектов отношение равенства имеет смысл лишь
между элементами одного типа (попросту говоря, внутри определённого множества). Логицисты (сначала в логике предикатов Фреге, затем в рамках теории типов) опирались на определение равенства, похожее на теоретико-множественное, но рассматривающее отношения с другой стороны:

x=y  ⇔  ∀P P(x) ⇔ P(y){\displaystyle x=y\ \ \Leftrightarrow \ \ \forall P\colon \ P(x)\ \Leftrightarrow \ P(y)}

То есть, для равенства двух объектов необходимо и достаточно, чтобы любой предикат, который может быть построен на данном типе, давал на них одинаковое логическое значение. Впрочем, не логицисты это определение придумали — оно было известно ещё Лейбницу.

Некоторые формальные теории уклоняются от определения равенства, считая его изначально заданным отношением эквивалентности.

Что такое равенство?

Понятие равенства неразрывно связано со сравнением – сопоставлением свойств и признаков с целью выявлением схожих черт. А сравнение в свою очередь предполагает наличие двух предметов или объектов, один из которых сравнивается с другим. Если, конечно, не проводить сравнение предмета с самим собой, и то, это можно рассматривать как частный случай сравнения двух предметов: самого предмета и его «точной копии».

Из приведенных рассуждений понятно, что равенство не может существовать без наличия, по крайней мере, двух объектов, иначе нам просто нечего будет сравнивать. Понятно, что можно взять три, четыре и большее число объектов для сравнения. Но оно естественным образом сводится к сравнению всевозможных пар, составленных из этих объектов. Иными словами, оно сводится к сравнению двух объектов. Итак, равенство требует два объекта.

Суть понятия равенства в самом общем смысле наиболее отчетливо передается словом «одинаковые». Если взять два одинаковых объекта, то о них можно сказать, что они равные. В качестве примера приведем два равных квадрата и . Отличающиеся объекты, в свою очередь, называют неравными.

Понятие равенства может относиться как объектам в целом, так и к их отдельным свойствам и признакам. Объекты равны в целом, когда они равны по всем присущим им параметрам. В предыдущем примере мы говорили о равенстве объектов в целом – оба объекта квадраты, они одинакового размера, одинакового цвета, и вообще они полностью одинаковые. С другой стороны, объекты могут быть неравными в целом, но могут иметь некоторые равные характеристики. В качестве примера рассмотрим такие объекты и . Очевидно, они равны по форме –они оба являются кругами. А по цвету и по размеру – неравны, один из них синий, а другой – красный, один маленький, а другой — большой.

Из предыдущего примера для себя отметим, что нужно наперед знать, о равенстве чего именно мы говорим.

Все приведенные рассуждения применяются и к равенствам в математике, только здесь равенство относится к математическим объектам. То есть, изучая математику, мы будем говорить о равенстве чисел, равенстве значений выражений, равенстве каких-либо величин, например, длин, площадей, температур, производительностей труда и т.п.

Равенство и неравенство

Что такое равенство в математике — это когда одно подобно по количеству другому и между ними можно поставить знак =.

Для примера посмотрим на картинку с изображением геометрических фигур. Справа и слева количество одинаковое, значит можно поставить символ «равно».

Наглядный пример неравенства изображен на картинке ниже. Слева видим три фигуры, а справа — четыре. При этом мы знаем, что три не равно четырем или еще так: три меньше четырех.

Урок в школе зачастую проходит перед учебником, тетрадью и доской. Дома же можно использовать компьютер и некоторые задания выполнять в онлайн-формате. Как найти знаки на клавиатуре? Ответ на картинке: